Problemario 1 PDS.

Problemario 1 PDS.

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Tema: Señales de tiempo discreto

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1. Sea la siguiente señal discreta x(n)=\left \{1 , 1^{*}, 1, 1, 0.5, 0.5 \right \}. Calcular las señales de los siguientes incisos. Verificar su resultado con Matlab.

(a) x(n-2); (b) x(4-n); (c) x(n+2);
(d) x(n)u(2-n); (e) x(n+1)\delta (n-3); (f) x(n^{2});
(g) x_{par}(n); (h) x_{impar}(n).

Verificar con MATLAB cada inciso.

2. Utilice MATLAB para generar las gráficas de las siguientes señales:

x_{1}(t)=\left\{\begin{matrix} t^{2}+4t+4 & -2\leq t < -1\\ 0.16t^{2}-0.48t+0.36 & -1\leq t < 1.5\\ 0 & otros \end{matrix}\right.

x_{2}(t)=\left\{\begin{matrix} e^{(0.5t+1)} & t < -2\\ -0.5t & -2\leq t<-0.5\\ 1.21 & -0.5\leq t < 1.5\\ -t^{2}+3t-1.04 & 1.5\leq t < 2.6\\ \sin \left ( \pi t-1.6\pi \right ) & 2.6 \leq t \end{matrix}\right.

Presentar las gráficas de las señales x_{1}(t) y x_{2}(t), y graficar las señales de los siguientes incisos utilizando Matlab :

(a) x_1(1-t)x_2(t);
(b) x_1(2t)x_2(t-2);
(c) x_1\left (\frac{t}{4} \right )x_2(3t);

3. Considere la señal discreta h(n)=\left \{ -2, 1 , -1^{*}, 0, 1, 1, -1 \right \}. Calcular la representación matemática los incisos del problema 1 para h(n). Verificar su resultado con Matlab.

4. Considere las siguientes señales discretas x(n)=\left \{ 3 , 2, 1, 0^{*}, 1, 2, 3 \right \}, \ \ y(n)=\left \{ -1 , -1, -1,-1, 0^{*}, 1, 1, 1, 1 \right \}.

Calcular con Matlab:

(a) x(2n);
(b) x(3n-1)
(c) y(1-n);
(d) y(2-2n);
(e) x(n-2)+y(n+2);
(f) x(2n)+y(n-4);
(g) x(n-2) y(n+2);
(h) x(3-n) y(n);
(i) x(-n) y(-n);
(j) x(n) y(-2-n);
(k) x(n+2) y(6-n).

5. Sea la siguiente señal discreta en el tiempo:
x(n)=\left \{2,3, 4^{*},5,6\right\}. 
(a) Calcular la componente par y la componente impar de la señal y verificar su resultado con Matlab. (b) Calcular las siguientes operaciones sobre la señal x(n):

(i) x(2n); (ii) x(4-2n); (iii) x(2n-1).

Tema: Formas de definición de señales discretas en tiempo

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1. Exprese las siguientes secuencias en función de escalón unitario.

(a) x(n)=\left\{\begin{matrix} 1 & 0\leq n \leq N \\ 0 & otros \end{matrix}\right.
(b) x(n)=\left\{\begin{matrix} -1 & n \leq -1\\ 0 & otros \end{matrix}\right.
(c) x(n)=\left\{\begin{matrix} 1 & -2 \leq n \leq 3\\ 0 & otros \end{matrix}\right.

2. Determine las componentes par e impar de las siguientes señales:

(a) x(n)= exp\left [j(\Omega _0 n+\frac{\pi}{2}) \right ]
(b) x(n)= \delta (n)

3. Determine si las siguientes señales son periódicas, si es el caso encuentre el periodo fundamental. (a) x(n)=(-1)^{n}; (b) x(n)=(-1)^{n^{2}}. Verifique su resultado con Matlab.

4. Determine si cada una de las señales es o no periódica.

(a) x(n)= exp\left ( j \pi n \right )
(b) x(n)= exp\left [j\left (\frac{n}{4} - \pi\right) \right ]
(c) x(n)= cos\left ( \frac{\pi n^2}{8} \right )
(d) x(n)= cos\left ( \frac{n}{2} \right )cos\left ( \frac{\pi n}{4} \right )
(e) x(n)= cos\left ( \frac{\pi n}{4} \right )+sen\left ( \frac{\pi n}{8} \right )-2cos\left ( \frac{\pi n}{2} \right )

5. Determine el periodo y la frecuencia fundamentales de las siguientes señales y compruebe con MATLAB su resultado.

(a) cos\left ( \frac{7}{15} \pi n\right )
(b) 10 cos\left ( 50 \pi n + \frac{\pi}{4} \right )
(c) cos\left ( 50 \pi n \right )+ sin\left ( 15 \pi n \right )

Tema: Sistemas lineales e invariantes en el tiempo

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1. Indicar si los siguientes sistemas son invariantes en el tiempo utilizando la señal de prueba x(n)=[2^*,-2,1,-1].

(a) y(n)=x(n)-x(n-1)
(b) y(n)=x(n)+nx(n+1)
(c) y(n)=x(2-n)
(d) y(n)=x(n^2)
(e) y(n)=x^2(n)
(f) y(n)=Ax(n)+B
(g) y(n)=e^{x(n)}

2. Determine si los sistemas del problema 1 son lineales o no lineales.

Tema: Ecuaciones en diferencias lineales

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1. Encuentre la respuesta natural o de entrada cero de los sistemas descritos por las siguientes ecuaciones en diferencias:

(a) 16y(n)-9y(n-2)=2x(n); \; \; y(-1)=-1; \; \; y(-2)=1
(b) 8y(n)-2y(n-1)-y(n-2)=2x(n)+x(n-1); \; \; y(-1)=1; \; \; y(-2)=0
(c) 2y(n)+2y(n-1)+y(n-2)=x(n)+x(n-1); \; \; y(-1)=0; \; \; y(-2)=2

Verifique sus respuestas analíticas con MATLAB.

2. Encuentre la respuesta forzada de los sistemas descritos por las siguientes ecuaciones en diferencias:

(a) 5y(n)-2y(n-1)=x(n)
para: (i) x(n)=u(n); \; \; (ii) x(n)=-\left ( \frac{2}{5} \right )^n u(n); \; \; (iii) x(n)=sin(\frac{\pi n}{5})u(n);

(b) 16y(n)-y(n-2)=16x(n-1)
para: (i) x(n)=2u(n); \; \; (ii) x(n)=\left ( \frac{1}{4} \right )^n u(n); \; \; (iii) x(n)=\left ( \frac{3}{2} \right )^n u(n)

(c) 2y(n)-0.5y(n-1)-0.25y(n-2)=x(n)+2x(n-1)
para: (i) x(n)=-2u(n); \; \; (ii) x(n)=\left ( \frac{1}{8} \right )^n u(n); \; \;(iii) x(n)=exp(j \frac{\pi}{4} n)u(n); \; \; (iv) x(n)=\left ( \frac{1}{2} \right )^n u(n)

Verifique sus respuestas analíticas con MATLAB.

3. Determine la señal de salida de los sistemas descritos por las siguientes ecuaciones en diferencias, con las condiciones iniciales y señal de entrada como se especifica:

(a) y(n)-0.5y(n-1)=2x(n-1); \; \; y(-1)=1; x(n)=\left ( -\frac{1}{2} \right )^n u(n)

(b) 3y(n)-5y(n-1)+2y(n-2)=x(n)+x(n-1); \; \; y(-1)=-1; \; \; y(-2)=1 x(n)=\left ( \frac{2}{3} \right )^n u(n)

(c) y(n)-\frac{3}{4}y(n-1)+\frac{1}{8}y(n-2)=x(n); \; \; y(-1)=1; \; \; y(-2)=-1; x(n)=2u(n)

(d) 2y(n)-7y(n-1)-4y(n-2)=x(n)+x(n-1); \; \; y(-1)=-1; \; \; y(-2)=-1;
para: (i) x(n)=2^n u(n); (ii) x(n)=)=\left ( -\frac{1}{2} \right )^n u(n); (iii) x(n)=-3^n u(n).

Verifique sus respuestas analíticas con MATLAB.

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